Persamaan Vektor Dan Garis Lurus

Persamaan Vektor Dan Garis Lurus

Pada bidang, gradien digunakan untuk menentukan persamaan suatu garis. Dalam ruang, akan lebih mudah jika kita gunakan vektor untuk menentukan persamaan suatu garis.

Pada Gambar 1, perhatikan garis L yang melalui titik P(x1, y1, z1) dan sejajar terhadap vektor v = <a, b, c>. Vektor v adalah vektor arah untuk garis L, dan a, b, dan cmerupakan bilangan-bilangan arah. Kita dapat mendeskripsikan bahwa garis L adalah himpunan semua titik Q(x, y, z) sedemikian sehingga vektor PQ sejajar dengan v. Ini berarti bahwa PQ merupakan perkalian skalar v dan kita dapat menuliskan PQ = tv, dimana t adalah suatu skalar (bilangan real).

Dengan menyamakan komponen-komponen yang bersesuaian, kita mendapatkanpersamaan-persamaan parametris suatu garis dalam ruang.

---

Teorema 1 Persamaan-persamaan Parametris Suatu Garis dalam Ruang

Garis L yang sejajar dengan vektor v = <v1, v2, v3> dan melewati titik P(x1, y1, z1) direpresentasikan dengan persamaan-persamaan parametris

---

Jika bilangan-bilangan arah a, b, dan c tidak nol, maka kita dapat mengeliminasi parameter t untuk mendapatkan persamaan-persamaan simetris garis.

Contoh 1: Menentukan Persamaan-persamaan Parametris dan Simetris

Tentukan persamaan-persamaan parametris dan simetris garis L yang melalui titik (1, –2, 4) dan sejajar terhadap v = <2, 4, –4>, seperti yang ditunjukkan Gambar 2.

Pembahasan Untuk menentukan persamaan-persamaan parametris garis tersebut, kita gunakan koordinat-koordinat x1 = 1, y1 = –2, dan z1 = 4 dan arah a = 2, b = 4, dan c = –4.

Karena a, b, dan c semuanya tidak nol, persamaan simetris garis tersebut adalah

Persamaan-persamaan parametris atau simetris untuk garis yang diberikan tidaklah tunggal. Sebagai contoh, dalam Contoh 1, dengan memisalkan t = 1 dalam persamaan-persamaan parametris, kita akan mendapatkan titik (3, 2, 0). Dengan menggunakan titik ini dengan bilangan-bilangan arah a = 2, b = 4, dan c = –4 kita akan menghasilkan himpunan persamaan-persamaan parametris yang berbeda

Contoh 2: Persamaan-persamaan Parametris Suatu Garis yang Melalui Dua Titik

Tentukan persamaan-persamaan parametris suatu garis yang melalui titik-titik (–2, 1, 0) dan (1, 3, 5).

Pembahasan Pertama, kita gunakan titik-titik P(–2, 1, 0) dan Q(1, 3, 5) untuk menentukan vektor arah garis yang melalui P dan Q.

Dengan menggunakan bilangan-bilangan arah a = 3, b = 2, dan c = 5 dengan titik P(–2, 1, 0), kita dapat memperoleh persamaan-persamaan parametris

Catatan Karena t beragam untuk semua bilangan real, persamaan-persamaan parametris pada Contoh 2 digunakan untuk menentukan titik-titik (x, y, z) yang terletak pada garis. Secara khusus, untuk t = 0 dan t = 1 memberikan titik-titik awal yang diketahui, yaitu (–2, 1, 0) dan (1, 3, 5).

A. Jika diketahui kemiringan (m) dan melalui satu titik (x1, y1)

Dalam menentukan persamaan garis lurus yang diketahui kemiringan atau gradiennya (m) serta satu titik (x1, y1) yang dilaluinya, kita dapat menggunakan formula berikut.
y - y1 = m(x – x1)

Contoh:
Tentukan persamaan garis yang melalui titik A(1, 3) dan bergradien 2
Jawab:
(1, 3) sehingga x1 = 1 dan y1 = 3
m = 2
y – y1 = m(x – x1)
y – 3 = 2(x – 1)
y – 3 = 2x – 2
y = 2x – 2 + 3
y = 2x + 1

B. Jika diketahui melalui dua titik (x1, y1) dan (x2, y2)

Sebuah garis, dapat dilukis apabila minimal diketahui dua buah titik yang dilaluinya. Sama seperti halnya dengan melukis garis lurus pada bidang cartesius, suatu persamaan garis lurus dapat ditentukan apabila diketahui dua buah titik yang dilaluinya (x1, y1) dan (x2, y2). Dalam menentukan persamaan garis lurus yang melalui dua titik kita dapat menggunakan formula:


Contoh:
Tentukan persamaan garis yang melalui titik A(3, –2) dan titik B(–1, 3)
Jawab:
A(3, –2) maka x1 = 3 dan y1 = -2
B(-1, 3) maka x2 = -1 dan y2 = 3

C. Jika diketahui melalui titik (x1, y1) dan sejajar dengan garis lain

Ciri dua buah garis atau lebih yang saling sejajar adalah mempunyai nilai kemiringan atau gradien yang sama. Dalam kasus dimana diketahui melalui satu titik (x1, y1) dan sejajar garis lain, kita dapat menentukan persamaan garisnya dengan menentukan gradien garis yang diketahui terlebihdahulu, kemudian kita dapat menentukan gradient garis yang sedang kita cari dimana
Syarat dua garis sejajar adalah
m1 = m2 atau m2 = m1

Dengan m1 adalah gradien garis yang sejajar dengan garis yang kita cari sedangkan m2 adalah gradien garis yang kita akan cari persamaanya. Sehingga, persamaan garis yang kita cari adalah persamaan garis lurus yang melalui titik (x1, y1) dan mempunyai kemiringan atau gradien (m2), yang dapat kita tentukan dengan formula
y - y1 = m2(x – x1)

Contoh:
Tentukan persamaan garis yang melalui titik A(–2, 3) dan sejajar garis y = –x – 5
Jawab:
y = -x – 5 maka m1 = -1
Karena garis sejajar maka m2 = m1 = -1
A(-2, 3) maka x1 = -2 dan y1 = 3
y - y1 = m2(x – x1)
y – 3 = -1(x – (-2))
y – 3 = -x – 2
y = -x + 1

D. Jika diketahui melalui titik (x1, y1) dan tegak lurus dengan garis lain

Sedangkan, apabila persamaan garis yang kita akan cari melalui suatu titik (x1, y1) dan tegak lurus dengan garis lain kita harus memahami bahwa syarat dua garis atau lebih saling tegak lurus adalah hasil perkalian gradienya adalah -1
m1 x m2 = -1 atau

Dengan m1 adalah gradien garis yang sejajar dengan garis yang kita cari sedangkan m2 adalah gradien garis yang kita akan cari persamaanya. Sehingga, kita dapat menentukan persamaan garis tersebut dengan formula
y - y1 = m2(x – x1)

Contoh:
Tentukan persamaan garis yang melalui titik A(1, 4) dan tegak lurus dengan garis 2x – 5y = 6
Jawab:
2x – 5y = 6 maka m1 = 2/5
Karena garis tegak lurus maka

A(1, 4) maka x1 = 1 dan y1 = 4
y - y1 = m2(x – x1)
y – 4 = (5/2)(x – 1)
2(y – 4) = 5(x – 1)
2y – 4 = 5x – 5
2y = 5x -1